Pecinta Rasulullah SAW: Limit Tak Berhingga

Pertama,kita lihat flashback tentang materi limit mendekati tak hingga.
1. $\lim_{x\to\infty}ax=\infty$
2. $\lim_{x\to\infty}\frac ax=0$
3. $\lim_{x\to\infty}a^x=\infty$
4. $\lim_{x\to\infty}\left(\frac ab\right)^x= \left\{ {\text{\infty , a>b}\atop \text{0 , a<b}} \right.$
di mana a dan b adalah konstanta.

Nah, sekarang masuk 'rumus praktis'-nya.
1. Bentuk $\frac \infty \infty$

$\lim_{x\to\infty} \frac {ax^m + b}{cx^n + d}= \left\{ {\text{\infty , m>n}\atop \text{0 , m<n}} \right.$

$\lim_{x\to\infty} \frac {ax^m + b}{cx^m + d}=\frac ac$

Sepertinya untuk dua rumus ini tidak butuh penurunan kan?

2. Bentuk $\sqrt{\infty} - \sqrt{\infty}$

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx +r}=\left\{ {\text{\infty , a>p}\atop \text{-\infty , a<p}}\right.$

Untuk a=p, maka: $\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{ax^2 + qx +r}=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$ . Darimana nilai itu diperoleh? Mari kita lihat penurunannya. Jika diselesaikan secara manual, maka kita perlu mengalikan dengan sekawannya. Let's see...

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx +r}$

= $\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx +r} * \frac{\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx +r}}{\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx +r}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{ax^2 + bx + c - \left(px^2 + qx +r\right)} {\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx +r}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x^2 + \left(b-q\right)x + \left(c-r\right)} {\sqrt{x^2\left(a + \frac b{x} + \frac c{x^2}\right)} + \sqrt{x^2\left(p + \frac q{x} + \frac r{x^2}\right)}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{x \left{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x} \right}} {x\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + x\sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\cancel{x} \left{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x} \right}} {\cancel{x}\left(\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}\right)}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

Nah, berdasarkan flashback poin dua, akan di dapat:
$\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}=\left\{ {\text{\infty , a>p}\atop \text{-\infty , a<p}}\right.$

Untuk a=p maka:
$\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{ + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-a\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{a + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{0*x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}}{\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{a + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$

Dengan cara yang sama, diperoleh:

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^m + bx^n + c} - \sqrt{ax^m + qx^n +r}=\frac {b-q}{2\sqrt{a}}$ di mana m=2n

dan

Terkadang, muncul soal seperti ini:

$\lim_{x\to\infty}\left(ax +b\right) - \sqrt{px^2 + qx +r}=...$

Caranya, agar berlaku rumus2 di atas, lakukan langkah seperti ini:

$\lim_{x\to\infty}\left(ax +b\right) - \sqrt{px^2 + qx +r}$

= $\lim_{x\to\infty}\sqrt{\left(ax +b\right)^2} - \sqrt{px^2 + qx +r}$

= $\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + \left(2ab\right)x + \left(b^2\right)} - \sqrt{ax^m + qx^n +r}$

Nah, jika sudah dalam bentuk seperti ini, tinggal 'rumus-masuk-jadi' kan?

anda bisa mendownload materi limit tak berhingga disini

Pecinta Rasulullah SAW

Pages

Minggu, 24 Februari 2013

Limit Tak Berhingga

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

facebook.com/voo36

statistik-ku